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title: "Mindo et Mastermind : la stratégie optimale de Knuth expliquée"
description: "Pourquoi tout code de Mindo peut être trouvé en 5 essais : la stratégie minimax de Knuth, l'ouverture 1 1 2 2 et ce qu'il en reste pour jouer au quotidien."
canonical_url: "https://dev.siwa.io/guides/mindo-strategie-mastermind"
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## Mindo est-il vraiment un Mastermind ?
Oui, au sens strict. Le code de [Mindo](https://dev.siwa.io/games/mindo) compte 4 positions, chacune prenant l'une des 6 couleurs, répétitions comprises : il existe donc 6 × 6 × 6 × 6 = 1296 codes possibles. Après chaque essai, le jeu donne deux nombres, les couleurs bien placées et les couleurs présentes mais mal placées, comptées exactement comme au Mastermind.
Toute la théorie publiée sur le Mastermind à 4 positions et 6 couleurs s'applique donc à Mindo sans adaptation. Seules changent les conditions de jeu : 10 essais au maximum, et un score qui tient compte des essais, du temps et des jokers.
Dans la suite, les couleurs sont désignées par leur numéro dans la palette, de 1 à 6.
## Qu'a démontré Donald Knuth ?
En 1976-1977, Donald Knuth publie dans le *Journal of Recreational Mathematics* une stratégie qui trouve n'importe quel code en **5 essais au plus**. Sa méthode est dite « minimax » : à chaque coup, elle choisit l'essai qui minimise le nombre de codes encore possibles dans le pire des cas.
Concrètement, pour chaque essai envisageable, on regarde toutes les réponses que le jeu pourrait donner. Chaque réponse laisse un certain nombre de codes compatibles. On retient le pire, puis on choisit l'essai dont ce pire est le plus petit. L'essai choisi n'est pas forcément un code encore possible : il peut être joué uniquement pour l'information qu'il apporte.
Cette stratégie demande en moyenne 4,478 essais. Elle n'est pas la meilleure en moyenne, mais elle garantit le pire cas.
## Pourquoi ouvrir avec 1 1 2 2 ?
L'ouverture de Knuth est **1 1 2 2** : deux paires de couleurs. Selon les calculs rapportés par Wikipédia, d'autres ouvertures comme 1 1 1 1, 1 1 1 2, 1 1 2 3 ou 1 2 3 4 ne permettent pas, avec cet algorithme, de garantir la victoire en 5 coups.
Le calcul du pire cas montre pourquoi. Voici, pour chaque type d'ouverture, le nombre maximal de codes qui peuvent rester après la réponse :
- **1 1 2 2** : 256 codes au pire ;
- **1 1 2 3** : 276 codes ;
- **1 2 3 4** : 312 codes ;
- **1 1 1 2** : 317 codes ;
- **1 1 1 1** : 625 codes.
Avec 1 1 2 2, les 1296 codes se répartissent sur 13 réponses possibles. Les trois pires, « 0 bien placée, 0 mal placée », « 0 et 1 » et « 1 et 0 », laissent chacune 256 codes. À l'autre extrême, « 2 bien placées, 2 mal placées » n'en laisse que 4.
Un essai efficace découpe les possibilités en beaucoup de petits groupes plutôt qu'en quelques gros. Quatre couleurs différentes testent plus de couleurs d'un coup, mais leur pire réponse laisse davantage de codes.
Le principe se transpose à la fin de partie : quand il reste quelques codes, préférez l'essai qui donne une réponse différente pour chacun d'eux, même s'il n'est pas lui-même un candidat.
## Peut-on faire mieux que Knuth ?
En moyenne, oui. En 1993, Koyama et Lai calculent par recherche exhaustive la stratégie qui minimise le nombre moyen d'essais : environ **4,340**, mais avec un pire cas à 6 essais. En ajoutant la contrainte de ne jamais dépasser 5 essais, la meilleure moyenne passe à environ 4,341.
Autre résultat utile pour un joueur humain : Swaszek a étudié, vers 1999-2000, des stratégies très simples. Jouer au hasard un code compatible avec toutes les réponses reçues donne une moyenne de 4,638 essais. C'est à peine 0,3 essai de plus que l'optimum, sans aucun calcul de partition.
## Comment appliquer cette théorie à Mindo ?
Personne ne déroule un minimax de tête sur 1296 codes. Mais trois idées passent très bien à l'échelle humaine.
**Ouvrez avec deux paires.** 1 1 2 2 garantit le meilleur pire cas. Si vous préférez une méthode facile à suivre, enchaînez avec 3 3 4 4 puis 5 5 6 6 : en trois essais, vous connaissez la composition du code par paires de couleurs, comme dans la partie commentée de notre [guide pour débuter](https://dev.siwa.io/guides/comment-jouer-a-mindo).
**Ne jouez que des codes compatibles.** C'est la stratégie étudiée par Swaszek, et elle suffit à gagner en moins de 5 essais en moyenne. Vérifiez chaque proposition contre toutes les lignes précédentes avant de valider.
**Départagez en fin de partie.** Quand il reste 3 à 6 candidats, cherchez l'essai qui sépare le mieux les possibilités. C'est le seul moment où l'esprit du minimax se calcule facilement à la main.
## Ce que le score de Mindo change à la stratégie
Mindo laisse 10 essais : la garantie des 5 essais de Knuth n'est donc pas une question de survie. En revanche, chaque essai supplémentaire coûte environ 67 points de performance sur 1000. C'est la **moyenne** d'essais qui compte pour le score, plus que le pire cas.
Le temps compte aussi, avec un bonus sous 2 min 30 et un malus au-delà. Une méthode simple et rapide, comme les essais compatibles, vaut souvent mieux qu'une recherche parfaite mais lente.
Enfin, le joker est particulièrement coûteux à Mindo : 60 points par joker, et un score plafonné à 700 avec un joker, 450 avec deux, 200 avec trois. La théorie montre qu'il n'est jamais nécessaire pour gagner : gardez-le pour éviter une défaite, plafonnée à 400 points. Nos [astuces Mindo](https://dev.siwa.io/guides/astuces-mindo) détaillent ces choix, et notre sélection de [jeux comme le Mastermind](https://dev.siwa.io/guides/jeux-comme-mastermind) propose d'autres codes à percer.
## Sources
- [Mastermind (board game), Wikipédia en anglais](https://en.wikipedia.org/wiki/Mastermind_%28board_game%29) : algorithme de Knuth, ouverture 1122, résultats de Koyama et Lai.
- [Mastermind, Wolfram MathWorld](https://mathworld.wolfram.com/Mastermind.html) : moyennes de Knuth, Koyama et Lai, et stratégies de Swaszek.
- Les pires cas par ouverture sont calculés par nos soins sur les 1296 codes, avec les règles de comptage de Mindo.
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